解聯立方程式 x⁴ + y⁴ = 82 與 xy = 3。

Step-by-step solution

1. 1

   先搭一座通往低次對稱式的橋。 恆等式

   $\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}$

   讓我們只靠題目同樣給出的 $xy$，就能把已知的四次方轉換掉。這是處理對稱式聯立方程式的標準路線：從 $4$ 次一路降到 $2$ 次。

2. 2

   算出 x² + y²。

   $\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=82+2(3)^{2}=82+18=100$

   對實數 $x,y$ 恆有 $x^{2}+y^{2}\ge 0$，所以只能取正根：

   $x^{2}+y^{2}=10$

3. 3

   求出 x + y 與 x − y。

   $(x+y)^{2}=x^{2}+y^{2}+2xy=10+6=16\ \Longrightarrow\ x+y=\pm 4$

   $(x-y)^{2}=x^{2}+y^{2}-2xy=10-6=4\ \Longrightarrow\ x-y=\pm 2$

4. 4

   把正負號的各種取法組合起來，只留下自洽的數對。 由 $x+y=4$：配 $x-y=2$ 得 $(3,1)$，配 $x-y=-2$ 得 $(1,3)$。由 $x+y=-4$：得 $(-1,-3)$ 與 $(-3,-1)$。

   $\boxed{(x,y)=(3,1),\ (1,3),\ (-1,-3),\ (-3,-1)}$

5. 5

   每一組都代回兩個式子檢驗。 對 $(3,1)$：$81+1=82$ ✓ 且 $3\cdot 1=3$ ✓。對 $(-1,-3)$：$1+81=82$ ✓ 且 $(-1)(-3)=3$ ✓。另外兩組由對稱性 $x\leftrightarrow y$ 與 $(x,y)\to(-x,-y)$ 得到，這兩種變換都不改變原本的聯立方程式。

6. 6

   說明為什麼正負號必須一致。 因為 $xy=3>0$，$x$ 與 $y$ 必須同號 —— 這正是 $x+y=4$ 只能配 $x-y=\pm 2$、永遠產生不出異號解的原因。像 $(3,-1)$ 這樣的候選一定過不了 $xy=3$ 這一關。