解聯立方程式 x² + y = 2 與 −x² + y = 10。

Step-by-step solution

1. 1

   看出這組式子本來就是為消去而設計的。 兩式裡分別是 $+x^{2}$ 與 $-x^{2}$，所以只要把它們相加，$x$ 就整個消掉了——既不用代入，也不用兩邊平方。

2. 2

   兩式相加。

   $(x^{2}+y)+(-x^{2}+y)=2+10\quad\Longrightarrow\quad 2y=12\quad\Longrightarrow\quad y=6$

3. 3

   把 y = 6 代回任一式。 用第一式：

   $x^{2}+6=2\quad\Longrightarrow\quad x^{2}=-4$

4. 4

   解讀這個不可能成立的等式。 任何實數的平方都 $\ge 0$，所以 $x^{2}=-4$ 無實數解。而 $y$ 又被唯一地定死為 $6$，因此不存在同時滿足兩式的實數對 $(x,y)$。

   $\boxed{\text{無實數解}}$

5. 5

   用第二式與圖形各確認一次。 把 $y=6$ 代入 $-x^{2}+y=10$ 得 $-x^{2}=4$，也就是 $x^{2}=-4$——同樣的矛盾，說明前面沒有代數上的疏漏。從圖形上看，$y=2-x^{2}$ 是頂點為 $(0,2)$、開口向下的拋物線，$y=10+x^{2}$ 是頂點為 $(0,10)$、開口向上的拋物線；前者永遠不高於 $y=2$，後者永遠不低於 $y=10$，兩條曲線自然不可能相交。

6. 6

   如果題目允許複數，也順帶提一句。 在複數範圍內 $x^{2}=-4$ 給出 $x=\pm 2i$，於是 $(2i,6)$ 與 $(-2i,6)$ 都滿足兩個式子。至於 $(4,-14)$、$(-4,-14)$、$(0,2)$ 這類選項，代進去哪個式子都不成立，直接代入就能排除。