解 x⁴ + x³ + x² + x = 4553。

Step-by-step solution

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   先把左邊分解，看清它的形狀。 分組提取：

   $x^4+x^3+x^2+x=x(x^3+x^2+x+1)=x(x+1)(x^2+1)$

   由於 $x^2+1>0$ 恆成立，$g(x)=x(x+1)(x^2+1)$ 的正負號就等於 $x(x+1)$ 的正負號：只在 $(-1,0)$ 上為負，區間外都為正。而且 $g$ 在兩個方向上都按 $x^4$ 的量級成長。所以對任何大於 $0$ 的目標值，實根恰好有兩個，一正一負 —— 負的那一半正是最容易被忘掉的。

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   先把正根夾住。 $g(7)=2401+343+49+7=2800$，$g(8)=4096+512+64+8=4680$。目標值 $4553$ 落在兩者之間，所以根在 $(7,8)$ 內，而且靠近 $8$。

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   把正根收緊。 $g(7.9)=4458.36$，$g(7.95)=4568.17$，所以根在 $(7.9,7.95)$ 內。二分到機器精度得

   $x_1=7.9431476$

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   否掉流傳很廣的 7.949102。 在那裡計算得 $g(7.949102)=4566.18$，比 $4553$ 超出了 $13$ 以上。差這麼多的值不可能是根；這個偏差之所以容易被忽略，是因為四次方讓 $g$ 在 $x=8$ 附近變化極快（每單位約 $2200$）。

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   把負根也夾住並收緊。 $g(-8)=4096-512+64-8=3640$，$g(-8.5)=4669.69$，所以第二個根落在 $(-8.5,-8)$ 內。二分得

   $x_2=-8.4477787$

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   兩個都驗證一下。 $g(7.9431476)=4553.000$，$g(-8.4477787)=4553.000$，都精確到小數第三位。這個四次方程式剩下的兩個根是一對共軛複數，所以實數解集恰好是 $\{7.9431476,\,-8.4477787\}$。