設 a > 0，解不等式 ax² − (2a − 1)x + 2 ≥ 2x。

Step-by-step solution

1. 1

   把所有項移到左邊。 減去 $2x$ 會把兩個一次項併起來：

   $ax^{2}-\left[(2a-1)+2\right]x+2\ge 0\ \Longrightarrow\ ax^{2}-(2a+1)x+2\ge 0$

2. 2

   把二次式分解。 試試 $(x-2)(ax-1)$，乘開來驗證：

   $(x-2)(ax-1)=ax^{2}-x-2ax+2=ax^{2}-(2a+1)x+2\ \checkmark$

   所以不等式就是 $(x-2)(ax-1)\ge 0$。

3. 3

   把首項係數化成 1。 因為 $a>0$，除以 $a$ 不會改變不等號方向，而且 $ax-1=a\left(x-\tfrac1a\right)$：

   $(x-2)\left(x-\frac{1}{a}\right)\ge 0$

   兩根是 $2$ 與 $\tfrac1a$；拋物線開口向上，所以解落在兩根之外——但哪一個根在左邊，得看 $a$。

4. 4

   情形 $0<a<\tfrac12$（此時 $\tfrac1a>2$）。 兩根由小到大是 $2<\tfrac1a$，所以

   $\left(-\infty,2\right]\cup\left[\frac{1}{a},+\infty\right)$

   用 $a=\tfrac14$ 檢查（兩根是 $2$ 與 $4$）：在 $x=0$ 時式子的值是 $2\ge 0$ ✓，在 $x=3$ 時是 $-\tfrac14<0$ ✗，在 $x=5$ 時是 $\tfrac34\ge 0$ ✓。

5. 5

   情形 $a=\tfrac12$（此時 $\tfrac1a=2$）。 兩根重合，不等式變成 $\tfrac12(x-2)^{2}\ge 0$，對每個實數都成立：

   $x\in\mathbb{R}$

6. 6

   情形 $a>\tfrac12$（此時 $\tfrac1a<2$）。 現在 $\tfrac1a$ 是比較小的根：

   $\left(-\infty,\frac{1}{a}\right]\cup\left[2,+\infty\right)$

7. 7

   把三個分支收在一起。 整個答案就取決於 $\tfrac1a$ 與 $2$ 這一次大小比較，也就是取決於 $a<\tfrac12$、$a=\tfrac12$ 還是 $a>\tfrac12$——這是所有「根隨參數而動」的二次不等式的標準做法。