將 x² − x + 1 分解：能在實數範圍就在實數範圍，否則在複數範圍分解。

Step-by-step solution

1. 1

   先算判別式，把實數的情況定案。 取 $a=1$、$b=-1$、$c=1$：

   $\Delta=b^{2}-4ac=(-1)^{2}-4(1)(1)=1-4=-3$

   因為 $\Delta<0$，這個二次式沒有實根，所以它在 $\mathbb{R}$ 上不可分解——不存在兩個實係數一次因式，硬去找 $1$ 的整數因數對是白費力氣。

2. 2

   用公式解求複數根。

   $x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1\pm\sqrt{-3}}{2}=\frac{1\pm i\sqrt{3}}{2}$

   兩根互為共軛複數，實係數多項式本來就必然如此。

3. 3

   寫出在 $\mathbb{C}$ 上的分解。 首一二次式等於各根對應的 $(x-\text{根})$ 相乘：

   $x^{2}-x+1=\left(x-\frac{1+i\sqrt{3}}{2}\right)\left(x-\frac{1-i\sqrt{3}}{2}\right)$

4. 4

   乘回去驗算。 乘積是 $x^{2}-(r_{1}+r_{2})x+r_{1}r_{2}$。兩根之和是 $\dfrac{1+i\sqrt3}{2}+\dfrac{1-i\sqrt3}{2}=1$ ✓，兩根之積是 $\dfrac{1^{2}-\left(i\sqrt3\right)^{2}}{4}=\dfrac{1+3}{4}=1$ ✓，正好還原成 $x^{2}-x+1$。把任一根代回去，殘差都小於 $10^{-14}$ ✓。

5. 5

   記下實數形式的替代寫法與背後的恆等式。 配方會得到實數形式 $x^{2}-x+1=\left(x-\tfrac12\right)^{2}+\tfrac34$，顯示最小值是 $\tfrac34>0$——這是「它永遠不為零」的另一個獨立證明。這兩個根同時也是本原的六次單位根，反映了恆等式 $x^{2}-x+1=\dfrac{x^{3}+1}{x+1}$。