分解 E = 4x²y³ + 4x³y² + a²x + a²y + 12x + 12y。

Step-by-step solution

1. 1

   找重複出現的形狀，而不是單一的公因式。 沒有任何因式能整除全部六項，所以要用分組。後面四項已經很有暗示性：$a^2x+a^2y$ 與 $12x+12y$ 都含有 $x+y$。

2. 2

   先處理好處理的兩組。

   $a^2x+a^2y=a^2(x+y),\qquad 12x+12y=12(x+y)$

   三組裡已經有兩組共有二項式 $x+y$，所以剩下那一組必須設法湊成同樣的形狀。

3. 3

   把第一組逼成相同的形狀。 前兩項都含有 $4x^2y^2$：

   $4x^2y^3+4x^3y^2=4x^2y^2(y+x)=4x^2y^2(x+y)$

   這一步決定了整題——看出提掉 $4x^2y^2$ 之後，$y^3$ 與 $x^3$ 恰好各留下 $y$ 與 $x$。

4. 4

   把共同的二項式收出來。 三組現在都帶著 $x+y$：

   $E=(x+y)\left(4x^2y^2+a^2+12\right)$

5. 5

   數值檢查並確認分解完全。 取 $x=1$、$y=2$、$a=3$：原式是 $4(1)(8)+4(1)(4)+9+18+12+24=32+16+63=111$，分解後的形式得 $3\left(16+9+12\right)=3\cdot 37=111\;\checkmark$。第二個因式是幾個非負項再加 $12$，所以永遠不為零，也不會再產生實數因式。