用直式求 4x³ + x² + 2x + 6 與 x + 5 的乘積，並化簡。

Step-by-step solution

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   先弄懂「直式」的好處在哪。 把乘法像數字直式那樣排開，代表你會產生兩列部分積——二項式的每一項各一列——然後把相同次方對齊在同一直行相加。正是這個對齊，擋掉了把 $x^{3}$ 項和 $x^{2}$ 項湊在一起的經典錯誤。

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   用 $x$ 分配出第一列部分積。 三次式的每一項乘上 $x$，指數都升一階：

   $x\left(4x^{3}+x^{2}+2x+6\right)=4x^{4}+x^{3}+2x^{2}+6x$

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   用 $5$ 分配出第二列部分積。 這裡只有係數改變：

   $5\left(4x^{3}+x^{2}+2x+6\right)=20x^{3}+5x^{2}+10x+30$

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   兩列逐行相加。 依 $x$ 的次方分組：

   $4x^{4}+\left(x^{3}+20x^{3}\right)+\left(2x^{2}+5x^{2}\right)+\left(6x+10x\right)+30$

   注意 $4x^{4}$ 沒有夥伴（只有 $x$ 那一列產生四次項），$30$ 也沒有夥伴（只有 $5$ 那一列產生常數項）。

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   合併並寫出結果。

   $4x^{4}+21x^{3}+7x^{2}+16x+30$

   快速的次數檢查：$3$ 次的因式乘上 $1$ 次的因式必為 $4$ 次，首項係數必為 $4\cdot 1=4$。兩點都吻合。

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   用測試值驗算。 取 $x=0$，因式形式與展開式都給出 $6\cdot 5=30$。取 $x=1$ 都給出 $13\cdot 6=78$，取 $x=2.5$ 都給出 $598.125$，取 $x=-1.3$ 都給出 $-13.6826$。四個點都吻合已是很強的證據；再多一個點就足以完全鎖定一個 $4$ 次多項式。