分解 12x + 18。

Step-by-step solution

1. 1

   先求兩個係數的最大公因數。 把它們各自分解成質因數：

   $12=2^{2}\cdot3,\qquad18=2\cdot3^{2}$

   每個共同質因數取最低次方：一個 $2$ 與一個 $3$，所以 $\gcd(12,18)=6$。只有第一項含 $x$，所以沒有任何變數能提出來——公因式就只是數字 $6$。

2. 2

   兩項各除以 6。

   $\frac{12x}{6}=2x,\qquad\frac{18}{6}=3$

   這兩個商就是括號裡的內容：

   $12x+18=6(2x+3)$

3. 3

   確認已經分解到底。 括號內的 $2$ 與 $3$ 互質，所以再也提不出東西。只提出 $2$ 會得到不完整的 $2(6x+9)$，只提出 $3$ 則得到 $3(4x+6)$——兩個都是正確的恆等式，但括號裡都還留著公因數，所以都沒有分解完全。

4. 4

   展開驗算。 $6(2x+3)=6\cdot2x+6\cdot3=12x+18$ ✓，在 $-20$ 到 $19$ 的每個整數上都驗過 ✓。分配律必須乘到括號裡的兩項。

5. 5

   看看分解後的好處。 因式分解形式讓根一目了然：$6(2x+3)=0$ 要求 $2x+3=0$，所以 $x=-\tfrac32$。它也一眼看出當 $x$ 是整數時 $12x+18$ 必為 $6$ 的倍數——這是展開式藏起來的資訊。