化簡 (b − 1)/(b + √b − 1) 乘上 (√b + 1)/(b√b − 1) 的倒數，再加上 2√b。

Step-by-step solution

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   把分式翻過來以消掉負指數。 對任何非零的分式都有 $\left(\tfrac{u}{v}\right)^{-1}=\tfrac{v}{u}$，所以

   $\left(\frac{\sqrt{b}+1}{b\sqrt{b}-1}\right)^{-1}=\frac{b\sqrt{b}-1}{\sqrt{b}+1}$

   式子就成了單純的「乘積再加一項」：

   $\frac{b-1}{b+\sqrt{b}-1}\cdot\frac{b\sqrt{b}-1}{\sqrt{b}+1}+2\sqrt{b}$

2. 2

   令 $x=\sqrt{b}$，讓每一項都變成多項式。 這是關鍵的一步：根號會擋住常用的因式分解公式，但取 $x=\sqrt{b}\ (x>0)$ 後有 $b=x^2$、$b\sqrt{b}=x^3$，式子就變成

   $\frac{x^2-1}{x^2+x-1}\cdot\frac{x^3-1}{x+1}+2x$

3. 3

   因式分解並約分。 現在標準公式都能用了：

   $x^2-1=(x-1)(x+1),\qquad x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$

   所以乘積是

   $\frac{(x-1)(x+1)}{x^2+x-1}\cdot\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x+1}=\frac{(x-1)^2(x^2+x+1)}{x^2+x-1}$

   $x+1$ 約掉了；注意分母的 $x^2+x-1$ 和 $x^2+x+1$ 不是同一個東西，所以其他什麼都約不掉。

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   把 $2x$ 通分到同一個分母上再相加。 寫成 $2x=\dfrac{2x(x^2+x-1)}{x^2+x-1}$ 再合併：

   $\frac{(x-1)^2(x^2+x+1)+2x(x^2+x-1)}{x^2+x-1}$

   把分子展開：

   $(x^2-2x+1)(x^2+x+1)=x^4-x^3-x+1$

   $2x(x^2+x-1)=2x^3+2x^2-2x$

   $\text{兩者之和}=x^4+x^3+2x^2-3x+1$

5. 5

   確認這個分式真的已經是最簡。 用 $x^2+x-1$ 去除 $x^4+x^3+2x^2-3x+1$，商是 $x^2+3$、餘式是 $-6x+4\neq 0$，除不盡，所以再也約不掉什麼。

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   換回原來的變數並寫出定義域。 用 $x^2=b$、$x^3=b\sqrt{b}$、$x^4=b^2$：

   $\frac{b^2+b\sqrt{b}+2b-3\sqrt{b}+1}{b+\sqrt{b}-1}$

   成立條件是 $b>0$ 且 $b\neq 1$（好讓 $b\sqrt{b}-1\neq 0$），以及 $b\neq\frac{3-\sqrt{5}}{2}\approx 0.382$（好讓 $b+\sqrt{b}-1\neq 0$）。取 $b=2$ 做數值檢查，原式與化簡後的形式都給出 $3.142136$。