解不等式 x² > a²，其中 a 是常數。

Step-by-step solution

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   不要天真地「兩邊同時開平方」。 直接寫成 $x>a$ 會漏掉解，而且可能根本是錯的：取 $a=-3$，$x=-5$ 滿足 $25>9$，但 $-5>-3$ 並不成立。$a$ 的正負未知，所以答案必須寫成對每一個 $a$ 都成立的形式。

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   把所有項移到同一邊再分解。 這樣就把正負號的問題換成了兩個一次因式的乘積：

   $x^{2}-a^{2}>0\qquad\Longrightarrow\qquad(x-a)(x+a)>0$

3. 3

   兩個因式同號時乘積才為正——分成兩支來看。

   $\text{(i) }x-a>0\ \text{且}\ x+a>0\quad\Longrightarrow\quad x>a\ \text{且}\ x>-a$

   兩個下界合併時取較大的那個：$x>\max(a,-a)=|a|$。

   $\text{(ii) }x-a<0\ \text{且}\ x+a<0\quad\Longrightarrow\quad x<a\ \text{且}\ x<-a$

   兩個上界合併時取較小的那個：$x<\min(a,-a)=-|a|$。

4. 4

   合併成一個敘述。 兩支合起來得到

   $x^{2}>a^{2}\iff x<-|a|\ \text{ 或 }\ x>|a|\iff|x|>|a|$

   所以解集是 $\left(-\infty,-|a|\right)\cup\left(|a|,\infty\right)$。正是那些絕對值讓答案在 $a$ 為負時依然成立——恆等式 $\max(a,-a)=|a|$ 就是它們登場的地方。

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   跨越各種正負號驗證，包括退化的情況。 拿 $19$ 個 $a$ 值（正的、負的與零），各配 $31$ 個 $x$ 值，把原不等式與所宣稱的解集逐一比對，結果完全吻合 ✓。當 $a=0$ 時答案塌成 $|x|>0$，也就是除了 $0$ 以外的每一個 $x$ ✓——這是一致的，因為 $x^{2}>0$ 只在 $x=0$ 時不成立。