把 2x + x^2 - 1 寫成標準式，並解 2x + x^2 - 1 = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   重新排成標準式。 標準式把各項按次數由高到低排列，所有二次方程式的解法都預設這種寫法：

   $2x+x^{2}-1=x^{2}+2x-1$

   於是 $a=1$、$b=2$、$c=-1$。重排不會改變式子的值——加法有交換律——但可以避免把 $2$ 誤看成首項係數。

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   檢查能否整數分解，然後放棄這條路。 需要兩個整數，乘積為 $-1$、和為 $2$；$-1$ 唯一的整數因數對是 $(1,-1)$，和是 $0$。所以整數分解不存在，兩根是無理數。

3. 3

   配方法——在 $b$ 是偶數時比公式解更快。 $b=2$ 的一半是 $1$，所以

   $x^{2}+2x-1=(x+1)^{2}-1-1=(x+1)^{2}-2$

   令它等於零就得到 $(x+1)^{2}=2$，這種形式一眼就能解。

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   兩邊開平方，正負都保留。

   $x+1=\pm\sqrt{2}\qquad\Longrightarrow\qquad x=-1\pm\sqrt{2}$

5. 5

   用公式解交叉檢查。

   $x=\frac{-2\pm\sqrt{4+4}}{2}=\frac{-2\pm2\sqrt{2}}{2}=-1\pm\sqrt{2}\ \checkmark$

   （用了 $\sqrt{8}=2\sqrt2$，那個 $2$ 才能約掉。）根與係數關係也吻合：兩根之和為 $-2=-b/a$ ✓、乘積為 $1-2=-1=c/a$ ✓。數值上 $x\approx0.4142$ 與 $x\approx-2.4142$，殘差都小於 $10^{-12}$ ✓。