將 x³ + x + 1 除以 x² + 2x − 3，求商與餘式。

Step-by-step solution

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   先注意到這裡不能用綜合除法。 綜合除法只是 $x-c$ 這一型除式的捷徑，也就是次數為 $1$ 且為首一多項式的情形。除式 $x^2+2x-3$ 的次數是 $2$，所以必須動用一般的演算法——多項式長除法。把被除式的每一個次方都補齊：

   $x^3+0\cdot x^2+x+1$

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   用首項相除求出商的第一項。 拿 $x^3$ 比 $x^2$：

   $\frac{x^3}{x^2}=x$

   把整個除式乘以 $x$ 再相減：

   $x^3+0x^2+x+1-\left(x^3+2x^2-3x\right)=-2x^2+4x+1$

3. 3

   對新的首項重複同樣的動作。 現在拿 $-2x^2$ 比 $x^2$：

   $\frac{-2x^2}{x^2}=-2$

   把除式乘以 $-2$ 再相減：

   $-2x^2+4x+1-\left(-2x^2-4x+6\right)=8x-5$

   減去一個負數是符號錯誤最集中的地方：$4x-(-4x)=8x$，而 $1-6=-5$。

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   次數低於除式時就停手。 目前剩下的 $8x-5$ 次數是 $1$，小於除式的次數 $2$，所以演算法到此結束：

   $\text{商}=x-2,\qquad \text{餘式}=8x-5$

   注意餘式是一個多項式而不是一個數字——只要除式的次數是 $2$ 以上，這都是正常的。

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   寫下結果並驗算。

   $\frac{x^3+x+1}{x^2+2x-3}=x-2+\frac{8x-5}{x^2+2x-3}$

   乘回去，$(x^2+2x-3)(x-2)=x^3-2x^2+2x^2-4x-3x+6=x^3-7x+6$，而 $x^3-7x+6+(8x-5)=x^3+x+1\;\checkmark$。

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   另一種檢查：把除式因式分解。 因為 $x^2+2x-3=(x+3)(x-1)$，可以在除式的根上檢驗餘式 $8x-5$。在 $x=1$：被除式給 $1+1+1=3$，餘式給 $8-5=3\;\checkmark$。在 $x=-3$：被除式給 $-27-3+1=-29$，餘式給 $-24-5=-29\;\checkmark$。兩個吻合的值就足以完全確定一個次數為 $1$ 的餘式。