解 (x² − 5x)·√(4 + 3x − x²) = 0，並求它的解之和。

Step-by-step solution

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   動手解之前先求定義域。 根號內必須非負：$4+3x-x^{2}\ge 0$，即 $x^{2}-3x-4\le 0$，即 $(x-4)(x+1)\le 0$，所以 $x\in[-1,4].$ 落在這個區間外的候選值都不是原方程式的解，無論後面的代數運算算出什麼。

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   使用乘積為零的性質。 乘積為零，當且僅當其中某個因式為零，所以要麼 $x^{2}-5x=0$，要麼 $\sqrt{4+3x-x^{2}}=0$。

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   解多項式因式，再用定義域篩。 $x^{2}-5x=x(x-5)=0$ 給出 $x=0$ 或 $x=5$。由於 $5\notin[-1,4]$，只有 $x=0$ 留下；在 $x=5$ 處根號內會是 $4+15-25=-6<0$。

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   解根式因式。 平方根為零，當且僅當被開方式為零：$4+3x-x^{2}=0$，即 $x^{2}-3x-4=0$，即 $(x-4)(x+1)=0$，得 $x=4$ 與 $x=-1$。這兩個恰好是定義域的兩個端點，因此都可以取到。

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   彙總並求和。 解集是 $\{-1,0,4\}$，所求的和為 $-1+0+4=3$。把每個值代回原式，分別得到 $6\cdot\sqrt{0}$、$0\cdot 2$ 與 $-4\cdot 0$，全都為零，所以三個解都是真解。