若 a > 0、b > 0 且 2a + b = 1，求 a/(2 − 2a) + b/(2 − b) 的最小值。

Step-by-step solution

1. 1

   化成單變數並定出範圍。 由條件得 $b=1-2a$，而 $a>0,\ b>0$ 逼出

   $0<a<\tfrac12$

   在這個區間上 $2-2a\in(1,2)$、$2-b=1+2a\in(1,2)$，兩個分母都保持正的，$T$ 也是連續的。代入後

   $T(a)=\frac{a}{2(1-a)}+\frac{1-2a}{1+2a}$

2. 2

   兩項分別微分。 第一項用商法則，分子是 $1\cdot 2(1-a)-a\cdot(-2)=2$，所以

   $\frac{d}{da}\left[\frac{a}{2(1-a)}\right]=\frac{2}{4(1-a)^2}=\frac{1}{2(1-a)^2}$

   第二項的分子是 $(-2)(1+2a)-(1-2a)(2)=-4$，所以

   $\frac{d}{da}\left[\frac{1-2a}{1+2a}\right]=\frac{-4}{(1+2a)^2}$

   第一項遞增、第二項遞減，這正是內部會出現最小值的原因。

3. 3

   令導數為零並求解。

   $\frac{1}{2(1-a)^2}=\frac{4}{(1+2a)^2}\quad\Longrightarrow\quad (1+2a)^2=8(1-a)^2$

   在 $0<a<\frac12$ 上 $1+2a$ 與 $1-a$ 都是正的，所以可取正的平方根：

   $1+2a=2\sqrt{2}\,(1-a)\quad\Longrightarrow\quad a\left(2+2\sqrt{2}\right)=2\sqrt{2}-1$

   $a=\frac{2\sqrt{2}-1}{2+2\sqrt{2}}=\frac{5-3\sqrt{2}}{2}\approx 0.378680$

   （最後一步是分子分母同乘 $\sqrt{2}-1$，用到 $(1+\sqrt{2})(\sqrt{2}-1)=1$。）接著 $b=1-2a=3\sqrt{2}-4\approx 0.242641>0$，所以這個臨界點是可用的。

4. 4

   把每一項化成精確值。 由 $1-a=\frac{3(\sqrt{2}-1)}{2}$，

   $\frac{a}{2-2a}=\frac{5-3\sqrt{2}}{6(\sqrt{2}-1)}=\frac{(5-3\sqrt{2})(\sqrt{2}+1)}{6}=\frac{2\sqrt{2}-1}{6}$

   又由 $2-b=6-3\sqrt{2}$，

   $\frac{b}{2-b}=\frac{3\sqrt{2}-4}{3(2-\sqrt{2})}=\frac{(3\sqrt{2}-4)(2+\sqrt{2})}{6}=\frac{\sqrt{2}-1}{3}$

5. 5

   相加，並確認它就是最小值。

   $T_{\min}=\frac{2\sqrt{2}-1}{6}+\frac{2\sqrt{2}-2}{6}=\frac{4\sqrt{2}-3}{6}\approx 0.442809$

   再比較開區間的兩個端點：當 $a\to 0^{+}$ 時 $T\to 1$；當 $a\to\tfrac12^{-}$ 時 $T\to\tfrac12$。兩者都超過 $0.4428$，所以內部的臨界點就是整體最小值。

6. 6

   留意兩個看起來很誘人的錯誤答案。 代入看似對稱的 $a=b=\frac13$ 會得到 $\frac14+\frac15=\frac{9}{20}=0.45$，很接近但不是最小值——$a=b$ 並沒有讓這個帶權的條件達到平衡。而 $\frac15=0.2$ 這個值在這裡不可能出現，因為在整個 $0<a<\frac12$ 上 $T$ 都不會低於 $\frac{4\sqrt{2}-3}{6}\approx 0.4428$。精確的最小值就是 $\frac{4\sqrt{2}-3}{6}$。