函數 f(x) = |x + 2| − 1 先對 x 軸作對稱，再向下平移 2 單位。寫出新函數的方程式。

Step-by-step solution

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   先認清出發時的圖形。 $f(x)=|x+2|-1$ 是一個開口向上的 V 形，頂點在 $(-2,-1)$：因為 $|x+2|=|x-(-2)|$ 給出 $h=-2$，末尾的 $-1$ 給出 $k=-1$。

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   對 $x$ 軸作對稱，就是把整個輸出取相反數。 這一步是最容易栽跟頭的地方：負號必須作用在整個函數上，常數項也包括在內，而不是只管絕對值那一項：

   $-f(x)=-\left(|x+2|-1\right)=-|x+2|+1$

   在這一步就寫成 $-|x+2|-1$ 正是那個經典錯誤——對稱之下 $-1$ 會變成 $+1$，因為點 $(-2,-1)$ 會翻到 $(-2,1)$。

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   向下平移 2 單位，也就是減去 2。

   $-|x+2|+1-2=-|x+2|-1$

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   寫出結果及其特徵。

   $f(x)=-|x+2|-1,\qquad \text{頂點 }(-2,-1),\ \text{開口向下}$

   頂點回到了原來的座標，這純屬巧合——對稱把它從 $-1$ 抬到 $+1$，平移又把它壓回去 $2$——但圖形確實變了，現在是一個倒過來的 V。

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   取點核對。 原圖上的 $(0,f(0))=(0,1)$；對稱後成為 $(0,-1)$，再下移 $2$ 就是 $(0,-3)$。用最後的式子算：$-|0+2|-1=-2-1=-3\;\checkmark$。原頂點 $(-2,-1)\to(-2,1)\to(-2,-1)$，式子給出 $-|{-2}+2|-1=-1\;\checkmark$。由於最大值是 $-1$，圖形永遠碰不到 $x$ 軸。