解不等式 3/(x − 1) > x + 4。

Step-by-step solution

1. 1

   不要給兩邊同乘 $x-1$。 它的正負號是未知的——$x>1$ 時為正，$x<1$ 時為負——同乘之後，數線的一半要變號、另一半不變。穩妥的路子是把所有項移到同一邊，讓一個分式與零比較：

   $\frac{3}{x-1}-(x+4)>0$

2. 2

   通分合併成一個分式。 展開 $(x+4)(x-1)=x^{2}+3x-4$：

   $\frac{3-(x^{2}+3x-4)}{x-1}=\frac{-x^{2}-3x+7}{x-1}>0$

   再把兩邊同乘 $-1$，讓分子的最高次項係數變正，這一步會讓不等號反向：

   $\frac{x^{2}+3x-7}{x-1}<0$

3. 3

   把所有臨界點都找出來——分子的零點和分母的零點。 分子用公式解：

   $x=\frac{-3\pm\sqrt{9+28}}{2}=\frac{-3\pm\sqrt{37}}{2}\approx-4.5414,\;1.5414$

   分母在 $x=1$ 處為零。這三個點 $\frac{-3-\sqrt{37}}{2}$、$1$、$\frac{-3+\sqrt{37}}{2}$ 把數線分成四段。注意 $1$ 恰好夾在兩個根之間，確實和它們交錯排列。

4. 4

   列符號表。 分子是開口向上的拋物線，只在兩根之間為負；分母在 $x<1$ 時為負。商為負，恰好是分子分母之中只有一個為負的時候：

   $\begin{array}{c|c|c|c}\text{區間}&\text{分子}&\text{分母}&\text{商}\\\hline x<-4.5414&+&-&-\;\checkmark\\ -4.5414<x<1&-&-&+\\ 1<x<1.5414&-&+&-\;\checkmark\\ x>1.5414&+&+&+\end{array}$

5. 5

   讀出解，並核對被挖掉的那個點。

   $\left(-\infty,\tfrac{-3-\sqrt{37}}{2}\right)\cup\left(1,\tfrac{-3+\sqrt{37}}{2}\right)$

   所有端點都是開的：兩個根處只取到等號（而原式是嚴格不等號），而 $x=1$ 是被徹底排除的，因為原來的分式在那裡根本沒有定義。在 $[-10,6]$ 上取 $8000$ 個點代回原不等式抽樣，結果與這個集合處處吻合 ✓。再單獨驗一下 $x=2$：$\frac{3}{1}=3$ 對比 $6$，$3>6$ 不成立 ✗，它確實應該被排除在外。