解不等式 1 + 11/(2ˣ − 8) + 28/(4ˣ − 2ˣ⁺⁴ + 64) ≥ 0。

Step-by-step solution

1. 1

   代換 t = 2ˣ，把每個指數式都改寫成 t 的式子。 因為對所有實數 $x$ 都有 $2^x > 0$，令 $t = 2^x$ 且 $t > 0$。於是

   $4^x = (2^x)^2 = t^2, \qquad 2^{x+4} = 2^4 \cdot 2^x = 16t$

   關鍵的改寫是 $2^{x+4} = 16t$，不是 $t + 16$——指數相加，底數就相乘。

2. 2

   認出第二個分母是完全平方。

   $4^x - 2^{x+4} + 64 = t^2 - 16t + 64 = (t - 8)^2$

   現在兩個分母都牽涉到同一個量 $t - 8$，整題就是靠這一點塌下來的。令 $u = t - 8$，不等式便成為

   $1 + \frac{11}{u} + \frac{28}{u^2} \ge 0, \qquad u \ne 0$

3. 3

   兩邊同乘 u²——因為它是正的，所以這步合法。 由於 $u \ne 0$，$u^2 > 0$，相乘不會翻轉不等號：

   $u^2 + 11u + 28 \ge 0 \ \Longleftrightarrow \ (u + 4)(u + 7) \ge 0$

   這就是把分母寫成一個平方與它的根之後的好處：完全不必對那些分式做符號分析。

4. 4

   解 u 的二次不等式。 開口向上的拋物線在兩根 $u = -7$ 與 $u = -4$ 之外非負：

   $u \le -7 \quad \text{或} \quad u \ge -4, \qquad u \ne 0$

5. 5

   透過 u = t − 8 與 t = 2ˣ 換回 x。 由 $u \le -7$：

   $t \le 1 \ \Rightarrow \ 2^x \le 2^0 \ \Rightarrow \ x \le 0$

   由 $u \ge -4$：

   $t \ge 4 \ \Rightarrow \ 2^x \ge 2^2 \ \Rightarrow \ x \ge 2$

   兩處都用到 $2^x$ 遞增這件事，所以不等號方向保持不變。條件 $t > 0$ 自動成立，不會多加任何限制。

6. 6

   扣掉被排除的點，寫出答案。 限制 $u \ne 0$ 代表 $t \ne 8$，也就是 $x \ne 3$，那裡原式的兩個分母都會等於零。所以

   $x \in (-\infty, 0] \cup [2, 3) \cup (3, \infty)$

   數值抽查也吻合：$x = -1$ 時左邊是 $+0.0311$，$x = 0$ 時恰為 $0$，$x = 1$ 時是 $-0.0556$，$x = 2$ 時恰為 $0$，$x = 4$ 時是 $+2.8125$。