用綜合除法計算 x³ − 2x + 3 除以 x − 2。

Step-by-step solution

1. 1

   按位列出係數，缺的那一次要補佔位符。 綜合除法完全靠係數的位置來運算，所以從 $3$ 次一直到 $0$ 次，每一個次數都得有一個數。把這個三次式寫成

   $x^3 + 0x^2 - 2x + 3$

   就得到係數列 $1, \ 0, \ -2, \ 3$。漏掉這個 $0$，後面所有位置都會錯位，這是這類題最經典的失誤。

2. 2

   從一次因式裡讀出綜合除法的除數。 除式形如 $x - r$ 時，用的是 $r$ 本身，所以 $x - 2$ 意味著你用 $2$ 去除（是正的 $2$，因為 $r$ 是 $x - 2 = 0$ 的根）。若除式寫成 $x + 2$，那對應的就是 $r = -2$。

3. 3

   執行「乘一次、加一次」的循環。 先把首項係數 $1$ 落下來，然後反覆地乘以 $2$ 再加到下一個係數上：

   $1 \ \rightarrow\ 0 + 2(1) = 2 \ \rightarrow\ -2 + 2(2) = 2 \ \rightarrow\ 3 + 2(2) = 7$

   完整的算式表格是

   $\begin{array}{r|rrrr} 2 & 1 & 0 & -2 & 3 \\ & & 2 & 4 & 4 \\ \hline & 1 & 2 & 2 & 7 \end{array}$

4. 4

   解讀最後一列。 最後一個數是餘式；前面幾個數是商的係數，次數比被除式低一次。由 $1, 2, 2$ 與餘式 $7$ 得

   $\frac{x^3 - 2x + 3}{x - 2} = x^2 + 2x + 2 + \frac{7}{x - 2}$

5. 5

   用餘式定理驗算，再乘回去核對。 餘式必須等於 $f(2)$：

   $f(2) = 8 - 4 + 3 = 7 \ \checkmark$

   把商乘回去，也能還原整個恆等式：

   $(x-2)(x^2 + 2x + 2) + 7 = x^3 - 2x - 4 + 7 = x^3 - 2x + 3 \ \checkmark$

   既然餘式不是 $0$，$x - 2$ 就不是 $x^3 - 2x + 3$ 的因式。