求方程式 (2x + 2)^(1/3) = −4 的實數解。

Step-by-step solution

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   把分數指數讀成立方根。 依定義 $a^{1/3} = \sqrt[3]{a}$，所以這個方程式說的是：$2x+2$ 的立方根等於 $-4$。右邊是負數完全合理——每個實數都恰有一個實立方根，負數也不例外。

2. 2

   兩邊同時立方，把根號消掉。 三次方是立方根的反運算：

   $\left((2x+2)^{1/3}\right)^3 = (-4)^3 \quad\Longrightarrow\quad 2x + 2 = -64$

   注意 $(-4)^3 = -64$，負號被保留下來，這和平方會把負號吃掉完全不同。

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   解剩下的一次方程式。

   $2x = -64 - 2 = -66 \quad\Longrightarrow\quad x = -33$

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   代回原方程式驗算。 代入 $x = -33$ 得 $2(-33) + 2 = -64$，而 $(-64)^{1/3} = -4$，與右邊完全相符。

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   為什麼這題不必檢驗增根。 立方在實數上是一對一的運算，既不會多出解也不會漏掉解。這正是它和平方根方程式最大的差別：平方根方程式兩邊平方時可能憑空造出必須捨去的增根。所以 $x = -33$ 是唯一的實數解。