判斷 f(x) = x√(x + 9) 是偶函數、奇函數，還是兩者皆非——分別用代數、圖形，以及比較 f(x) 與 f(−x) 的數值來判斷。

Step-by-step solution

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   回想兩個判別法。 若對定義域中所有的 $x$ 都有 $f(-x) = f(x)$，則 $f$ 是偶函數（圖形對 $y$ 軸對稱）；若 $f(-x) = -f(x)$，則是奇函數（圖形對原點對稱）。若兩個等式都不是處處成立，答案就是「兩者皆非」 —— 而大多數函數本來就兩者皆非。

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   先檢查定義域。 根號內必須滿足 $x + 9 \ge 0$，所以定義域是 $[-9, \infty)$。這個區間不對稱於 $0$：$x = 20$ 在定義域內，但 $x = -20$ 不在。奇函數或偶函數的定義域必須對稱，所以光憑這一點就已經決定了答案，根本還沒動到代數。

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   用代數算出 $f(-x)$。 把每一處的 $x$ 換成 $-x$：

   $f(-x) = (-x)\sqrt{-x+9} = -x\sqrt{9-x}$

   拿它和 $f(x) = x\sqrt{x+9}$ 與 $-f(x) = -x\sqrt{x+9}$ 比較。根號內不一樣 —— $\sqrt{9-x}$ 對上 $\sqrt{x+9}$ —— 所以 $f(-x)$ 兩者都不等於。

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   用數值確認。 取兩組對稱的數值代入：

   $x$	$f(x)$
   $1$	$1\sqrt{10} \approx 3.16$
   $-1$	$-1\sqrt{8} \approx -2.83$
   $4$	$4\sqrt{13} \approx 14.42$
   $-4$	$-4\sqrt{5} \approx -8.94$

   若 $f$ 是偶函數，就必須有 $f(-1) = f(1)$，但 $-2.83 \neq 3.16$。若 $f$ 是奇函數，就必須有 $f(-1) = -f(1) = -3.16$，但實際上 $f(-1) = -2.83$。兩者都不成立，而 $\pm 4$ 這一組也以同樣的方式失敗。

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   看圖也是同一套判斷。 曲線從 $(-9, 0)$ 開始，恰好在 $x = -6$ 下探到最低點，再往右無界地上升；在 $x = -9$ 的左邊什麼都沒有。所以它既不對 $y$ 軸對稱，也不對原點對稱。

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   下結論。 三種判斷方式一致：$f(x) = x\sqrt{x+9}$ 既不是偶函數也不是奇函數。差一點就成立的情形很有啟發性 —— $x\sqrt{x^2+9}$ 就會是奇函數，因為把 $x$ 平方後，根號內對變號免疫。