若 f(x) = 2 − x²，g(x) = x² + 4x − 60，求 f − g 的定義域，結果用區間表示。

Step-by-step solution

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   先回想函數作運算之後定義域的規則。 對 $f+g$、$f-g$、$fg$ 之中的任何一個，定義域都是兩個函數各自定義域的交集：

   $\operatorname{dom}(f-g)=\operatorname{dom}(f)\cap\operatorname{dom}(g)$

   （商 $f/g$ 是唯一的例外 —— 它還要再去掉 $g$ 的零點。）

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   分別求出各自的定義域。 $f(x)=2-x^2$ 是多項式：它只用到實數的乘法與加法，既沒有除以變數，也沒有偶次方根。所以

   $\operatorname{dom}(f)=(-\infty,\infty)$

   同樣的理由對 $g(x)=x^2+4x-60$ 也成立：

   $\operatorname{dom}(g)=(-\infty,\infty)$

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   把兩個定義域取交集。

   $(-\infty,\infty)\cap(-\infty,\infty)=(-\infty,\infty)$

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   把差直接寫出來再確認一次。 相減時要把負號分配到 $g$ 的每一項上：

   $(f-g)(x)=\left(2-x^2\right)-\left(x^2+4x-60\right)=-2x^2-4x+62$

   結果仍然是一個多項式，所以整條數線上找不到任何一處會讓它失去定義。

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   寫出答案。 $f-g$ 的定義域是全體實數：

   $(-\infty,\infty)$

   $g$ 的零點 —— 也就是 $x^2+4x-60=0$ 的解 $x=6$ 與 $x=-10$ —— 在這裡毫不相干；它們只有在討論 $f/g$ 時才需要理會。