把 1/(2n² + n) 拆成部分分式。

Step-by-step solution

1. 1

   先把分母分解。 兩項都有共同因式 $n$：

   $2n^2+n=n(2n+1)\quad\Longrightarrow\quad\frac{1}{2n^2+n}=\frac{1}{n(2n+1)}$

   兩個相異的一次因式，代表每個因式各配一項，不會出現重複次方。

2. 2

   寫出待定形式並去分母。

   $\frac{1}{n(2n+1)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{2n+1}\quad\Longrightarrow\quad 1=A(2n+1)+Bn$

3. 3

   依 $n$ 的次方整理並比較係數。

   $1=(2A+B)n+A$

   常數項給出 $A=1$；$n$ 的係數必須為零，所以 $2A+B=0$，因此

   $B=-2A=-2$

4. 4

   寫出分解結果。

   $\frac{1}{2n^2+n}=\frac{1}{n}-\frac{2}{2n+1},\qquad n\neq 0,\ n\neq-\tfrac12$

5. 5

   合回去並用數值檢驗。 $\tfrac{(2n+1)-2n}{n(2n+1)}=\tfrac{1}{n(2n+1)}$ $\checkmark$。取 $n=1$：左邊 $=\tfrac13$，右邊 $=1-\tfrac23=\tfrac13$ $\checkmark$。取 $n=2$：左邊 $=\tfrac{1}{10}$，右邊 $=\tfrac12-\tfrac25=\tfrac{1}{10}$ $\checkmark$。這個分解正是求級數 $\sum\tfrac{1}{2n^2+n}$ 的標準第一步。