解聯立方程式 1/x + 1/y = 8 與 6/x + 12/y = 1。

Step-by-step solution

1. 1

   用變數代換把分母消掉。 未知數自始至終只以 $1/x$ 與 $1/y$ 的形式出現，所以令 $a=\frac1x,\qquad b=\frac1y$ 就把整個系統換成線性的 $a+b=8,\qquad 6a+12b=1.$ 若改成直接乘開去分母，反而會得到一個難看的二次系統——變數代換乾淨得多。

2. 2

   化簡第二式。 把 $6a+12b=1$ 兩邊同除以 $6$ 得 $a+2b=\frac16.$ 現在兩式的 $a$ 係數相同，一次相減就能消元。

3. 3

   消去 $a$，解出 $b$。 用第二式減去第一式，$\left(a+2b\right)-\left(a+b\right)=\frac16-8\quad\Longrightarrow\quad b=\frac16-\frac{48}{6}=-\frac{47}{6}.$ $b$ 是負的完全沒問題——那只代表 $y$ 會是負數。

4. 4

   回代求 $a$。 由 $a+b=8$，$a=8+\frac{47}{6}=\frac{48}{6}+\frac{47}{6}=\frac{95}{6}.$

5. 5

   取倒數還原 $x$ 與 $y$。 因為 $a=1/x$、$b=1/y$，$x=\frac{1}{a}=\frac{6}{95},\qquad y=\frac{1}{b}=-\frac{6}{47}.$ 兩者都不為零，所以原來的分母是合法的，不必捨棄任何解。

6. 6

   代回原方程式檢驗。 $\dfrac{1}{x}=\dfrac{95}{6}$、$\dfrac{1}{y}=-\dfrac{47}{6}$，所以第一式得 $\dfrac{95}{6}-\dfrac{47}{6}=\dfrac{48}{6}=8$，第二式得 $6\cdot\dfrac{95}{6}+12\cdot\left(-\dfrac{47}{6}\right)=95-94=1$。兩式都完全成立，過程中沒有任何四捨五入。