設 A、B、C 為任意集合，判斷 [(A − B) ∪ (B − A)] 的補集 − [(A ∩ B) − C 的補集] 是否等於 [(A ∩ B) − C] ∪ (A ∪ B) 的補集，並證明或舉出反例。

Step-by-step solution

1. 1

   把每一個差集都改寫成與補集的交集。 只要 $X-Y=X\cap\overline{Y}$ 這一條規則，整個敘述就變得機械化：

   $A-B=A\cap\overline{B},\qquad B-A=B\cap\overline{A}$

   所以 $(A-B)\cup(B-A)$ 就是對稱差 $A\triangle B$ — 恰好只屬於 $A$、$B$ 其中一個的元素。

2. 2

   取對稱差的補集。 一個元素不是「恰好屬於 $A,B$ 之一」，正好就表示它兩個都屬於或兩個都不屬於：

   $\overline{A\triangle B}=(A\cap B)\cup\overline{(A\cup B)}$

   這是整個證明的結構核心，而目標等式右邊的那兩塊，在這裡已經看得見了。

3. 3

   化簡被扣掉的那個集合。 利用 $\overline{\overline{C}}=C$，

   $(A\cap B)-\overline{C}=(A\cap B)\cap\overline{\overline{C}}=A\cap B\cap C$

   所以等號左邊是

   $\Big[(A\cap B)\cup\overline{(A\cup B)}\Big]-\big(A\cap B\cap C\big)$

4. 4

   把扣除分配到聯集上。 差集對聯集有分配律，$(X\cup Y)-Z=(X-Z)\cup(Y-Z)$，於是得到

   $\big[(A\cap B)-(A\cap B\cap C)\big]\cup\big[\overline{(A\cup B)}-(A\cap B\cap C)\big]$

5. 5

   分別化簡兩塊。 第一塊：從 $A\cap B$ 中扣掉 $A\cap B\cap C$，扣掉的恰好是落在 $C$ 裡的那部分：

   $(A\cap B)-(A\cap B\cap C)=(A\cap B)-C$

   第二塊：$\overline{(A\cup B)}$ 與 $A\cap B$ 互斥（因此也與 $A\cap B\cap C$ 互斥），所以扣掉它毫無影響：

   $\overline{(A\cup B)}-(A\cap B\cap C)=\overline{(A\cup B)}$

6. 6

   下結論。 把兩塊接回去，

   $\text{左式}=\big[(A\cap B)-C\big]\cup\overline{(A\cup B)}=\text{右式}$

   $\boxed{\text{此恆等式成立，適用於所有集合 }A,B,C}$

   注意整個過程沒有用到任何附加假設——這個恆等式是無條件成立的。

7. 7

   用窮舉元素歸屬來驗證。 每個元素依照是否屬於 $A$、$B$、$C$，會落在 $8$ 個區域之一。八種情況全部檢查：屬於 $A\cap B$ 的元素，兩邊同時包含它的充要條件是它落在 $C$ 外；落在 $A\cup B$ 外的元素，兩邊永遠都包含；恰好只屬於 $A,B$ 之一的元素，兩邊都不包含（左邊被補集化的對稱差擋掉，右邊兩塊也都容不下它）。八種情況全部一致，印證了前面的代數推導。