將 x³ + 3x² − 4x − 12 完全因式分解。

Step-by-step solution

1. 1

   四項的三次式先想到分組。 四項之間沒有共同因式，所以把它們拆成兩組，期待每一組提完公因式後留下相同的二項式。這一題正好就是如此。

2. 2

   分組後各自提出公因式。

   $\left(x^3+3x^2\right)+\left(-4x-12\right)=x^2(x+3)-4(x+3)$

   第二組提出的是 $-4$（不是 $+4$），這樣兩個二項式才會一致；若提 $+4$，剩下的會變成 $(-x-3)$。

3. 3

   提出共同的二項式。

   $x^2(x+3)-4(x+3)=(x+3)\left(x^2-4\right)$

4. 4

   用平方差收尾。 因為 $x^2-4=x^2-2^2$：

   $x^2-4=(x-2)(x+2)$

   所以

   $x^3+3x^2-4x-12=(x+3)(x-2)(x+2)$

   停在 $(x+3)(x^2-4)$ 是這一題最常見的失分方式。

5. 5

   讀出各個根。 這個式子在 $x=-3,\ 2,\ -2$ 時為零——三個相異實根，恰好把三次式的根數補滿。

6. 6

   展開驗算。 把原式與三個因式的乘積在 $-30$ 到 $29$ 的每個整數上比較，結果完全相同 ✓。抽查 $x=1$：$1+3-4-12=-12$，而 $(4)(-1)(3)=-12$ ✓。