解三次方程式 1.5708x³ − 0.01446x² + 1.35803e−5·x + 1.0159097e−12 = 0。

Step-by-step solution

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   動用求根程式之前，先從係數讀出尺度。 係數每升一次冪大約掉兩個數量級（$1.57$、$1.4\times10^{-2}$、$1.4\times10^{-5}$），這是根落在 $10^{-2}$ 到 $10^{-3}$ 附近的特徵。常數項又比它們小七個數量級，所以必定有一個根遠比另外兩個微小。

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   換尺度成一條條件良好的三次式。 代入 $x=t/1000$ 會把 $t^k$ 的係數乘上 $1000^{3-k}$：

   $1.5708t^3-14.46t^2+13.5803t+1.0159097\times10^{-3}=0$

   現在每個係數都落在相差不到兩三個數量級的範圍內，求根程式因相消而損失的精度就少得多。

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   用變號找出兩個較大的根。 令 $g(t)=1.5708t^3-14.46t^2+13.5803t+0.0010159097$：$g(1)=0.6921>0$、$g(1.5)=-6.8621<0$、$g(8)=-12.5470<0$、$g(9)=96.0769>0$。所以根分別落在 $(1,1.5)$ 與 $(8,9)$；用二分法逼到機器精度，得到 $t=1.06167$ 與 $t=8.14390$。

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   由常數項求出那個極小的根。 在 $t=0$ 附近，三次項與二次項都可忽略，所以 $13.5803t+0.0010159097\approx0$ 給出 $t\approx-7.4808\times10^{-5}$，再用牛頓法修正到 $t=-7.480165\times10^{-5}$。把三個值都除回 $1000$：

   $x=-7.480165\times10^{-8},\quad 0.00106167,\quad 0.00814390$

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   用根與係數關係驗算，而且是真的算過而非假設。 三根之和應為 $0.01446/1.5708=0.0092055004$；三個根相加確實得到 $0.0092055004$ ✓。三根之積應為 $-1.0159097\times10^{-12}/1.5708=-6.467467\times10^{-13}$；三個根相乘也得到 $-6.467467\times10^{-13}$ ✓。網路上流傳甚廣的答案 $0.00100455$ 與 $0.00820134$ 通不過這個檢驗——那組值留下的殘差在 $10^{-8}$ 附近，而不是 $10^{-13}$。