利用平方根的商法則化簡 √(48x¹²)/√(2x)，其中 x > 0。

Step-by-step solution

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   先把兩個根號併起來，不要各自化簡。 商法則是

   $\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}=\sqrt{\frac{A}{B}}\quad (A\ge 0,\ B>0),$

   在這題比分別化簡 $\sqrt{48x^{12}}$ 與 $\sqrt{2x}$ 省事太多。題目給的 $x>0$ 正是用來保證兩個被開方數都非負、而且分母不為零。

2. 2

   在同一個根號內做除法。 係數與冪次分開處理：

   $\frac{48}{2}=24,\qquad \frac{x^{12}}{x^{1}}=x^{11}\ \Longrightarrow\ \sqrt{\frac{48x^{12}}{2x}}=\sqrt{24x^{11}}.$

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   把最大的完全平方因式拆出來。 係數方面 $24=4\cdot 6$，其中 $4=2^2$；變數方面，不超過 $11$ 的最大偶次是 $10$，所以 $x^{11}=x^{10}\cdot x$，而 $x^{10}=(x^5)^2$：

   $\sqrt{24x^{11}}=\sqrt{4\cdot 6\cdot x^{10}\cdot x}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{x^{10}}\cdot\sqrt{6x}.$

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   把開得出來的部分開出來。 因為 $x>0$，不需要加絕對值：

   $2\cdot x^{5}\cdot\sqrt{6x}=2x^{5}\sqrt{6x}.$

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   確認結果已完全化簡且正確。 剩下的根號裡 $6=2\cdot 3$ 沒有平方因數，$x$ 也只有一次方，再沒有東西能開出來。數值上取 $x=2$：$\sqrt{48\cdot 4096}/\sqrt{4}=\sqrt{196608}/2=221.7025$，而 $2(32)\sqrt{12}=64(3.4641)=221.7025$，兩者吻合。