解複合不等式 1/6 < (2x − 13)/12 ≤ 2/3。

Step-by-step solution

1. 1

   把它當成連在一起的兩個不等式。 未知數只出現在中間，所以每個運算都必須同時施加在三個部分上。這樣不必拆開，整條鏈也保持等價。

2. 2

   三個部分同乘 12 以去掉所有分母。 $12$ 是 $6$、$12$、$3$ 的最小公倍數，而且是正數，所以不等號方向不變：$12\cdot\frac16 < 12\cdot\frac{2x-13}{12} \le 12\cdot\frac23 \Longrightarrow 2 < 2x-13 \le 8.$

3. 3

   每一部分同加 13。 $2+13 < 2x \le 8+13 \Longrightarrow 15 < 2x \le 21.$ 加常數永遠不會影響不等式的方向。

4. 4

   每一部分同除以 2。 因為 $2>0$，不等號原封不動：$\frac{15}{2} < x \le \frac{21}{2}, \qquad\text{也就是}\qquad 7.5 < x \le 10.5.$

5. 5

   分清楚兩個端點的性質。 左端來自嚴格的 $<$，所以 $7.5$ 不含在解裡；右端來自 $\le$，所以 $10.5$ 含在解裡。寫成區間符號就是 $\left(\tfrac{15}{2},\tfrac{21}{2}\right]$。

6. 6

   用數值檢查邊界。 取 $x=7.5$：$\tfrac{2(7.5)-13}{12} = \tfrac{2}{12} = \tfrac16$——剛好相等，所以正確地被排除。取 $x=10.5$：$\tfrac{2(10.5)-13}{12} = \tfrac{8}{12} = \tfrac23$——剛好相等，所以正確地被包含。取 $x=7.4$ 時中間的值是 $0.15 < \tfrac16$，在解外；取 $x=10.6$ 時是 $0.6833 > \tfrac23$，同樣在解外。