解不等式 (2x − 1)/3 − 4/(x + 2) > (x − 3)/6 + 1。

Step-by-step solution

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   先看定義域，同時定下策略。 $x+2 \neq 0$，所以 $x \neq -2$。因為未知數出現在分母裡，唯一穩妥的辦法是把所有項移到同一邊、對單一分式列符號表，而不是兩邊同乘去分母。

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   先把三個多項式部分通分到分母 6 上。 暫時把 $\tfrac{4}{x+2}$ 那一項放一邊，$\frac{2x-1}{3}-\frac{x-3}{6}-1 = \frac{2(2x-1)-(x-3)-6}{6} = \frac{4x-2-x+3-6}{6} = \frac{3x-5}{6}.$

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   把不等式收成一個分式。 現在它是 $\dfrac{3x-5}{6}-\dfrac{4}{x+2}>0$。取公分母 $6(x+2)$：$\frac{(3x-5)(x+2)-24}{6(x+2)} > 0.$ 分子展開：$3x^2+6x-5x-10-24 = 3x^2+x-34$；又因為 $6>0$，這個正因子可以直接去掉：$\frac{3x^2+x-34}{x+2} > 0.$

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   求分子的兩個根。 $3x^2+x-34$ 在整數範圍內分解不了（那兩個數需要積為 $-102$、和為 $1$），所以改用公式解：$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1+408}}{6} = \frac{-1\pm\sqrt{409}}{6} \approx -3.5373 \ \text{與}\ 3.2040.$

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   在三個臨界值上列符號表。 由小到大依序是：$\tfrac{-1-\sqrt{409}}{6} \approx -3.5373$，接著是 $-2$，再接著是 $\tfrac{-1+\sqrt{409}}{6} \approx 3.2040$。開口向上的拋物線在兩根之外為正、兩根之間為負，而 $x+2$ 在 $-2$ 處變號。於是四個區間上的正負號依序是 $-,\,+,\,-,\,+$。

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   讀出兩個取正的區間並檢驗。 $x \in \left(\frac{-1-\sqrt{409}}{6},\ -2\right) \cup \left(\frac{-1+\sqrt{409}}{6},\ \infty\right).$ 代回原不等式：$x=-3$ 時左減右 $=+1.667>0$（在解裡）；$x=-1$ 時為 $-5.333$（不在）；$x=3$ 時為 $-0.133$（不在，就差一點沒越過邊界 $3.2040$）；$x=3.5$ 時為 $+0.189$（在）。所有端點都要排除，因為不等號是嚴格的，而 $x=-2$ 又不在定義域內。