用尤拉公式把 a·e^(−4i) + b·e^(4i) 化成三角形式。

Step-by-step solution

1. 1

   寫出尤拉公式，並注意這裡的 $4$ 是弧度。

   $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$

   這裡 $\theta=\pm4$ 的單位是弧度——它是一個固定的數而不是變數，所以 $\cos 4$ 與 $\sin 4$ 只是常數（$\cos4=-0.6536$，$\sin4=-0.7568$）。

2. 2

   把兩個指數式分別展開。 用 $\cos(-\theta)=\cos\theta$ 與 $\sin(-\theta)=-\sin\theta$：

   $e^{-4i}=\cos 4-i\sin 4,\qquad e^{4i}=\cos 4+i\sin 4$

   兩者的餘弦相同、正弦互為相反數——正是這個不對稱造出了下面的 $b-a$。

3. 3

   代入並把係數乘開。

   $a\,e^{-4i}+b\,e^{4i}=a(\cos 4-i\sin 4)+b(\cos 4+i\sin 4)$

4. 4

   把實部與虛部歸類。 分別把 $\cos 4$ 項與 $\sin 4$ 項收攏：

   $=(a+b)\cos 4+i\,(b-a)\sin 4$

   可見實部帶的是和 $a+b$，虛部帶的是差 $b-a$——注意順序，是 $b$ 減 $a$。

5. 5

   檢驗兩個特殊情形。 若 $b=a$，虛部消失，結果是 $2a\cos4$，與 $a(e^{4i}+e^{-4i})=2a\cos4$ 相符 ✓。若 $b=-a$，實部消失，得到 $-2ai\sin4$，與 $a(e^{-4i}-e^{4i})=-2ai\sin4$ 相符 ✓。

6. 6

   數值驗證。 取 $a=1.3$、$b=-0.7$：直接求值得到 $-0.392186+1.513605i$，而 $(a+b)\cos4+i(b-a)\sin4=0.6(-0.65364)+i(-2)(-0.75680)=-0.392186+1.513605i$ ✓。