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Algebra · real student question

化簡 8(2t(1 − t²) − 2t(−t² − 1)) / (1 − t²)² − 10(1 − t²) / (t² + 1)²。

Question

化簡

8(2t(1−t2)−2t(−t2−1))(1−t2)2−10(1−t2)(t2+1)2\frac{8\left(2t\left(1-t^2\right)-2t\left(-t^2-1\right)\right)}{\left(1-t^2\right)^2}-\frac{10\left(1-t^2\right)}{\left(t^2+1\right)^2}

Step-by-step solution

  1. 動手之前先把內層括號整理乾淨。 第一個分式的分子藏著一次大幅相消；先把它展開，題目會瞬間縮小：

    2t(1−t2)=2t−2t3,2t(−t2−1)=−2t3−2t2t\left(1-t^2\right)=2t-2t^3,\qquad 2t\left(-t^2-1\right)=-2t^3-2t

  2. 相減，減號要分配到兩項上。

    (2t−2t3)−(−2t3−2t)=2t−2t3+2t3+2t=4t\left(2t-2t^3\right)-\left(-2t^3-2t\right)=2t-2t^3+2t^3+2t=4t

    三次項完全抵消——括號其實就只是 4t4t。

  3. 把第一個分式重組起來。 再乘上外面的 88：

    8⋅4t(1−t2)2=32t(1−t2)2\frac{8\cdot 4t}{\left(1-t^2\right)^2}=\frac{32t}{\left(1-t^2\right)^2}

    所以式子現在是

    32t(1−t2)2−10(1−t2)(1+t2)2\frac{32t}{\left(1-t^2\right)^2}-\frac{10\left(1-t^2\right)}{\left(1+t^2\right)^2}

  4. 檢查兩個分母有沒有公因式。 (1−t2)2=(1−t)2(1+t)2\left(1-t^2\right)^2=(1-t)^2(1+t)^2，而 (1+t2)2\left(1+t^2\right)^2 在實數範圍內不可分解。兩者沒有公因式，所以最小公分母就是它們的乘積：

    (1−t2)2(1+t2)2\left(1-t^2\right)^2\left(1+t^2\right)^2

  5. 通分寫成一個分式。

    32t(1+t2)2−10(1−t2)3(1−t2)2(1+t2)2\frac{32t\left(1+t^2\right)^2-10\left(1-t^2\right)^3}{\left(1-t^2\right)^2\left(1+t^2\right)^2}

    分子和分母之間約不掉任何東西，所以化簡到此為止；實際使用時，兩個分式並排的形式往往還比較好用。

  6. 數值驗證。 取 t=2.1t=2.1，原式、兩個分式的形式與單一分式的形式全都等於 6.94419507046.9441950704；取 t=−1.4t=-1.4，三者都給出 −47.5154208262-47.5154208262。✓\checkmark（兩種形式在 t=±1t=\pm 1 都沒有定義。）

Answer

32t(1−t2)2−10(1−t2)(1+t2)2=32t(1+t2)2−10(1−t2)3(1−t2)2(1+t2)2\frac{32t}{\left(1-t^{2}\right)^{2}}-\frac{10\left(1-t^{2}\right)}{\left(1+t^{2}\right)^{2}}=\frac{32t\left(1+t^{2}\right)^{2}-10\left(1-t^{2}\right)^{3}}{\left(1-t^{2}\right)^{2}\left(1+t^{2}\right)^{2}}

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