解 x⁴ + x³ + x² + x = 4.66，求實數解。

Step-by-step solution

1. 1

   先弄清該找幾個實根。 記 $g(x)=x(x+1)(x^2+1)$，因式 $x^2+1$ 永不為零，所以 $g<0$ 只發生在 $(-1,0)$ 上，而兩個方向上都有 $g\to+\infty$。因此水平線 $y=4.66$ 與圖形恰好交兩次，只列出一個根的答案是不完整的。

2. 2

   框住正根。 $g(1)=4$，$g(1.1)=5.1051$，所以根落在 $(1,1.1)$ 裡 —— 而且更靠近下端，因為 $4.66$ 離 $4$ 比離 $5.11$ 更近。

3. 3

   把正根逼精確。

   $x_1=1.0620313,\qquad g(x_1)=4.660000$

   有人報的 $1.06463$ 代進去得 $g=4.6894$，差了 $0.03$；這一點附近 $g'\approx 11$，對應的 $x$ 誤差約為 $0.0026$。

4. 4

   框住負根。 $g(-1.7)=4.6291$（剛好低於目標值），$g(-1.75)=5.3320$（超過了），所以根在 $(-1.75,-1.7)$ 裡。

5. 5

   把負根逼精確。

   $x_2=-1.7023038,\qquad g(x_2)=4.660000$

   $-1.72880$ 這個值雖然落在框內，但代進去得 $g=5.0256$，明顯高於 $4.66$，所以它也不是根。

6. 6

   彙總答案。 兩個實數解是 $x\approx 1.0620313$ 和 $x\approx -1.7023038$；這個四次方程式的另外兩個根是一對共軛複數根。