設 a = λ − 2024、b = √(4 − (λ − 2024)²)。求使 a 與 b 都是實數的所有實數 λ。

Step-by-step solution

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   注意兩個式子裡只有一個會造成限制。 $a=\lambda-2024$ 是 $\lambda$ 的多項式，對每一個實數 $\lambda$ 都是實數——它完全不構成條件。所有資訊都在 $b$ 上，因為負數的平方根不是實數。

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   寫下被開方數的條件。 要讓 $b$ 是實數，

   $4-(\lambda-2024)^2\ge 0\quad\Longleftrightarrow\quad (\lambda-2024)^2\le 4$

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   把平方的不等式改寫成絕對值。 對任何實數 $t$，$t^2\le 4$ 等價於 $|t|\le 2$，也就是 $-2\le t\le 2$。取 $t=\lambda-2024$：

   $-2\le \lambda-2024\le 2$

   三邊同時加上 $2024$（加法不會改變不等號方向），得到

   $2022\le \lambda\le 2026$

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   檢查兩個端點與一個內部點。 取 $\lambda=2022$：$4-(-2)^2=0$，所以 $b=0$——是實數，端點要包含進來。$\lambda=2026$ 同理。取 $\lambda=2027$：$4-3^2=-5<0$，$b$ 會是虛數，這個值被正確地排除。取中心 $\lambda=2024$：$b=\sqrt{4}=2$，是 $b$ 能達到的最大值。

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   讀出答案背後的幾何意義。 把兩個定義合起來，

   $a^2+b^2=(\lambda-2024)^2+\left(4-(\lambda-2024)^2\right)=4$

   所以 $(a,b)$ 一定落在以原點為圓心、半徑 $2$ 的圓上——而且因為主平方根非負，只會落在它的上半圓。這就是為什麼 $a=\lambda-2024$ 只能在 $[-2,2]$ 之間跑：它是半徑 $2$ 的圓上一點的橫座標。答案是區間

   $\lambda\in[2022,\,2026]$