解不等式 (2 − 3x)(2x + 1) ≥ 0。

Step-by-step solution

1. 1

   保持因式形式——不要展開。 這個式子已經是兩個一次因式的乘積，而乘積的正負完全由各因式的正負決定。展開成 $-6x^2+x+2$ 只會讓計算變麻煩。

2. 2

   找出每個因式的零點。

   $2-3x=0\Rightarrow x=\frac23,\qquad 2x+1=0\Rightarrow x=-\frac12$

   這兩個分界點把數線切成 $\left(-\infty,-\tfrac12\right)$、$\left(-\tfrac12,\tfrac23\right)$ 與 $\left(\tfrac23,\infty\right)$。

3. 3

   每個區間各取一個測試點。 在 $x=-1$：$(2+3)(-2+1)=(5)(-1)=-5<0$。在 $x=0$：$(2)(1)=2>0$。在 $x=1$：$(-1)(3)=-3<0$。所以符號依序是負、正、負。

4. 4

   從首項係數解釋這個規律。 展開後首項會是 $-6x^2$，也就是開口向下的拋物線。開口向下的拋物線在兩根之間為正、在兩根之外為負——與平常的情形正好相反。在這裡反射性地寫成「兩根之外」是最經典的錯誤。

5. 5

   因為不等式帶等號，端點要包含進來。 在 $x=-\tfrac12$ 與 $x=\tfrac23$ 乘積恰好是 $0$，滿足 $\ge0$。所以解是閉區間

   $-\frac12\le x\le\frac23$

6. 6

   用掃描驗證。 在 $-3$ 到 $3$ 之間取 $6001$ 個點計算乘積，再與宣稱的區間比對，每一點都吻合 ✓，兩個端點也都恰好給出 $0$ ✓。