化簡 3√12 / (4∛54)，並使分母不含根號。

Step-by-step solution

1. 1

   動手前先把每個根式各自化簡。 在平方根裡找最大的完全平方數，在立方根裡找最大的完全立方數：

   $\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt3,\qquad \sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\cdot 2}=3\sqrt[3]{2}$

   讓根指數和次方對上是關鍵的習慣：平方根裡拿得出平方數，立方根裡拿得出立方數。

2. 2

   代回去並約掉有理係數。 分式成為

   $\frac{3\cdot 2\sqrt3}{4\cdot 3\sqrt[3]{2}}=\frac{6\sqrt3}{12\sqrt[3]{2}}=\frac{\sqrt3}{2\sqrt[3]{2}}$

   這裡只有數字能約掉；$\sqrt3$ 與 $\sqrt[3]{2}$ 的根指數不同，無法合併。

3. 3

   替立方根挑對有理化因式。 平方根只要乘上同一個根式就行；對 $\sqrt[3]{2}$ 這樣還不夠，因為 $\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{4}$ 仍是無理數。根號裡總共要湊滿三個 2，所以分子分母同乘 $\sqrt[3]{4}$：

   $\frac{\sqrt3}{2\sqrt[3]{2}}\cdot\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{4}}=\frac{\sqrt3\,\sqrt[3]{4}}{2\sqrt[3]{8}}$

4. 4

   把分母收尾。 因為 $\sqrt[3]{8}=2$，

   $\frac{\sqrt3\,\sqrt[3]{4}}{2\cdot 2}=\frac{\sqrt3\,\sqrt[3]{4}}{4}$

   分母現在是有理數 $4$，正是題目要求的。

5. 5

   檢查小數值。 原式是 $\dfrac{3\cdot 3.4641}{4\cdot 3.7798}=0.68736$，而 $\dfrac{1.7321\cdot 1.5874}{4}=0.68736$。兩者一致，化簡正確。