解方程式 3x − 6/x − 2 = 8。

Step-by-step solution

1. 1

   先把定義域的限制寫下來。 $\tfrac6x$ 這一項在 $x=0$ 時沒有定義，所以 $x=0$ 絕不可能是解。先記下這件事，等一下才能安心地兩邊同乘 $x$。

2. 2

   把常數項併起來。 兩邊同加 $2$：

   $3x-\frac{6}{x}=10$

3. 3

   每一項都乘上 $x$ 以消去分母。

   $3x^2-6=10x\quad\Longrightarrow\quad 3x^2-10x-6=0$

   乘上一個變數在一般情況下可能引入增根，所以最後一定要驗根。

4. 4

   解這個二次方程式。 取 $a=3$、$b=-10$、$c=-6$：

   $\Delta=100+72=172=4\cdot 43\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{10\pm 2\sqrt{43}}{6}=\frac{5\pm\sqrt{43}}{3}$

5. 5

   確認兩個根都不是增根。 $\sqrt{43}\approx 6.5574$，得到 $x\approx 3.8525$ 或 $x\approx-0.5191$。兩個都不是零，所以都通過定義域的檢查。代入 $x\approx 3.8525$：$11.557-1.557-2=8.000$ $\checkmark$。