分解 (9/16)c² − 1。

Step-by-step solution

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   確認分數係數也可以是完全平方。 一個分數是完全平方，條件是分子與分母都是完全平方；這裡 $9=3^{2}$、$16=4^{2}$，所以

   $\frac{9}{16}c^{2}=\left(\frac{3}{4}c\right)^{2},\qquad1=1^{2}$

   $\tfrac9{16}$ 的平方根是 $\tfrac34$——分子分母分別開根號，不要把分數折半。

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   套用平方差公式。 取 $a=\tfrac34c$、$b=1$：

   $\frac{9}{16}c^{2}-1=\left(\frac{3}{4}c\right)^{2}-1^{2}=\left(\frac{3}{4}c-1\right)\left(\frac{3}{4}c+1\right)$

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   展開驗算。 $\left(\tfrac34c\right)^{2}+\tfrac34c-\tfrac34c-1=\tfrac9{16}c^{2}-1$ ✓——交叉項互相抵消，這個型態永遠如此。這個恆等式在 $51$ 個精確的有理數點上都確認過 ✓。

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   給出不含分數的替代寫法。 先提出 $\tfrac1{16}$，題目就變成整數：

   $\frac{9}{16}c^{2}-1=\frac{1}{16}\left(9c^{2}-16\right)=\frac{1}{16}(3c-4)(3c+4)$

   這是同一個式子——把 $\left(\tfrac34c\mp1\right)$ 各乘 $4$ 得到 $(3c\mp4)$，而 $4\times4=16$ 正好交代了那個分母。兩種寫法也用數值確認過一致 ✓。

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   讀出根。 令任一因式為零，得 $\tfrac34c=\pm1$，所以

   $c=\pm\frac{4}{3}$

   檢查：$\tfrac9{16}\cdot\tfrac{16}{9}-1=1-1=0$ ✓，兩個符號都成立，因為式子裡只出現 $c^{2}$。