解不等式 x − (1 − x)/6 ≤ (2x + 1)/2 − 3/4。

Step-by-step solution

1. 1

   把左邊通分成分母 6。 負號要分配進分子，這一步最常出錯：

   $x-\frac{1-x}{6}=\frac{6x-(1-x)}{6}=\frac{6x-1+x}{6}=\frac{7x-1}{6}$

2. 2

   把右邊通分成分母 4。

   $\frac{2x+1}{2}-\frac{3}{4}=\frac{4x+2}{4}-\frac{3}{4}=\frac{4x-1}{4}$

   不等式現在是 $\dfrac{7x-1}{6}\le\dfrac{4x-1}{4}$。

3. 3

   兩邊同乘最小公分母 12。 因為 $12>0$，$\le$ 的方向不變——這正是要用正數（而不是像 $-12$ 那樣的負數）去分母的理由：

   $2(7x-1)\le 3(4x-1)\quad\Longrightarrow\quad 14x-2\le 12x-3$

4. 4

   孤立 $x$。 兩邊同減 $12x$，再加 $2$，最後除以正數 $2$：

   $2x-2\le-3\quad\Longrightarrow\quad 2x\le-1\quad\Longrightarrow\quad x\le-\frac{1}{2}$

5. 5

   用精確分數檢驗邊界與左右各一點。 取 $x=-\tfrac12$，兩邊都等於 $-\tfrac34$，所以端點要包含進來。取 $x=-1$，兩邊分別是 $-\tfrac43$ 與 $-\tfrac54$，$-\tfrac43\le-\tfrac54$ 成立。取 $x=-0.49$，兩邊是 $-\tfrac{443}{600}$ 與 $-\tfrac{37}{50}=-\tfrac{444}{600}$，而 $-\tfrac{443}{600}\le-\tfrac{444}{600}$ 不成立——可見分界點確實在 $-\tfrac12$。

6. 6

   寫出解集合。

   $x\in\left(-\infty,\,-\tfrac{1}{2}\right]$