計算 (a² − 3a − 18)/(2a² − 11a − 6) 除以 (a² + a − 6)/(2a² − a − 1)，並化到最簡。

Step-by-step solution

1. 1

   先分解兩個最高次項係數為 1 的二次式。 對 $a^{2}-3a-18$，找兩個數使乘積為 $-18$、和為 $-3$；對 $a^{2}+a-6$，則要乘積 $-6$、和 $1$：

   $a^{2}-3a-18=(a-6)(a+3),\qquad a^{2}+a-6=(a+3)(a-2)$

2. 2

   再用 ac 法（十字交乘）分解另外兩個。 對 $2a^{2}-11a-6$：$ac=-12$，而 $-12$ 與 $1$ 之和正好是 $-11$；對 $2a^{2}-a-1$：$ac=-2$，而 $-2$ 與 $1$ 之和是 $-1$：

   $2a^{2}-11a-6=(2a+1)(a-6),\qquad 2a^{2}-a-1=(2a+1)(a-1)$

3. 3

   把除式取倒數，全部寫成分解後的樣子。

   $\frac{(a-6)(a+3)}{(2a+1)(a-6)}\cdot\frac{(2a+1)(a-1)}{(a+3)(a-2)}$

4. 4

   跨著兩個分數一起約。 在分數相乘的式子裡，任一個分子上的因式都可以和任一個分母上的因式約掉：$(a-6)$、$(2a+1)$、$(a+3)$ 恰好都是上下各出現一次：

   $\frac{a-1}{a-2}$

   $\boxed{\dfrac{a-1}{a-2}}\qquad\left(a\neq 6,\ -\tfrac12,\ -3,\ 2\right)$

5. 5

   代一個數驗算。 取 $a=0$：原式為 $\dfrac{-18}{-6}\div\dfrac{-6}{-1}=3\div 6=\tfrac12$，而化簡結果給出 $\dfrac{-1}{-2}=\tfrac12$ ✓。

6. 6

   把所有排除值都記下來。 最終形式裡只看得見 $a=2$，但 $a=6$、$a=-\tfrac12$、$a=-3$ 也被原式的分母以及「除式不得為零」這一條排除掉了 —— 儘管化簡後的分式在這幾點上完全有定義，這些限制仍然必須一路帶著。