對 f(x) = 5x^2 - 3x + 9，求差商 (f(x+h) - f(x))/h 並化簡。

Step-by-step solution

1. 1

   把 x + h 代入函數。 每一個 $x$ 都要換掉，包括平方項裡的那個：

   $f(x+h) = 5(x+h)^2 - 3(x+h) + 9 = 5x^2 + 10xh + 5h^2 - 3x - 3h + 9$

   要把 $(x+h)^2$ 展開成 $x^2 + 2xh + h^2$ 而不是 $x^2 + h^2$ —— 正是這一步產生了 $10xh$ 這一項。

2. 2

   減去 f(x)。 所有不含 $h$ 的項都必須消掉，這本身就是對展開過程的一道內建檢查：

   $f(x+h) - f(x) = \left(5x^2 + 10xh + 5h^2 - 3x - 3h + 9\right) - \left(5x^2 - 3x + 9\right) = 10xh + 5h^2 - 3h$

   常數 $9$ 和兩個只含 $x$ 的項都消失了，這是一定會發生的。

3. 3

   從分子提出 h。

   $10xh + 5h^2 - 3h = h\left(10x + 5h - 3\right)$

4. 4

   把 h 約掉。 之所以合法，是因為題目已經聲明 $h \ne 0$：

   $\frac{h\left(10x + 5h - 3\right)}{h} = 10x + 5h - 3$

5. 5

   做數值檢驗，並連到導數。 取 $x = 1.3$、$h = 0.07$：直接算差商 $\tfrac{f(1.37) - f(1.3)}{0.07} = 10.35$，而公式給出 $10(1.3) + 5(0.07) - 3 = 10.35$。令 $h \to 0$ 就只剩 $10x - 3$，這恰好就是 $f'(x)$。