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Algebra · real student question

將 3x² − 4x + 2 配方，再求它的零點。

Question

把

3x2−4x+23x^{2}-4x+2

寫成配方後的形式，說出它的最小值，並求出它的零點。

Step-by-step solution

  1. 動手之前先檢查能不能在實數範圍內分解。 取 a=3a=3、b=−4b=-4、c=2c=2：

    Δ=(−4)2−4(3)(2)=16−24=−8\Delta=(-4)^{2}-4(3)(2)=16-24=-8

    因為 Δ<0\Delta<0，這個二次式沒有實根，也就無法分解成實係數的一次因式乘積。這時配方法才是有用的替代做法——它一次就能給出頂點與複數根。

  2. 只把最高次係數從含 xx 的項提出來。 常數 22 留在括號外面，分數會小一些：

    3x2−4x+2=3(x2−43x)+23x^{2}-4x+2=3\left(x^{2}-\tfrac43x\right)+2

    注意是 −4/3-4/3 而不是 −4-4：把一次項係數除以 a=3a=3 這一步，正是正負號與分數最容易出錯的地方。

  3. 在括號內完成配方。 −43-\tfrac43 的一半是 −23-\tfrac23，而 (−23)2=49\left(-\tfrac23\right)^{2}=\tfrac49：

    x2−43x=(x−23)2−49x^{2}-\tfrac43x=\left(x-\tfrac23\right)^{2}-\tfrac49

    代回原式並把 33 乘進去——別忘了它同樣要乘到那個修正項上：

    3(x−23)2−3⋅49+2=3(x−23)2−43+2=3(x−23)2+233\left(x-\tfrac23\right)^{2}-3\cdot\tfrac49+2=3\left(x-\tfrac23\right)^{2}-\tfrac43+2=3\left(x-\tfrac23\right)^{2}+\tfrac23

  4. 直接讀出頂點與最小值。 因為 3(x−23)2≥03\left(x-\tfrac23\right)^{2}\ge0，而且只有在 x=23x=\tfrac23 時取等號，所以最小值是 23\tfrac23，發生在 x=23x=\tfrac23。這個恆等式已在 100100 個精確有理點上驗證過 ✓，而且最小值嚴格為正——與 Δ<0\Delta<0 的結論一致。

  5. 在複數範圍內求零點。 由配方後的形式得 3(x−23)2=−233\left(x-\tfrac23\right)^{2}=-\tfrac23，於是 (x−23)2=−29\left(x-\tfrac23\right)^{2}=-\tfrac29，因此

    x=23±i23=2±i23x=\frac{2}{3}\pm\frac{i\sqrt{2}}{3}=\frac{2\pm i\sqrt{2}}{3}

    用公式解也得到同樣結果：x=4±−86=4±2i26=2±i23x=\frac{4\pm\sqrt{-8}}{6}=\frac{4\pm2i\sqrt{2}}{6}=\frac{2\pm i\sqrt{2}}{3}。把任一根代回，殘差都小於 10−1210^{-12} ✓。

Answer

3x2−4x+2=3(x−23)2+23,x=2±i233x^{2}-4x+2=3\left(x-\tfrac23\right)^{2}+\tfrac23,\quad x=\frac{2\pm i\sqrt{2}}{3}

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