展開並分解 (ax + by + ay)² + (bx − ay)(ax + by + ay) + (bx − ay)²。

Step-by-step solution

1. 1

   先替兩個重複出現的區塊取名，形狀就露出來了。 令

   $A=ax+by+ay,\qquad B=bx-ay$

   整個式子就只是

   $A^2+AB+B^2$

   這個形式單看 $A$ 與 $B$ 是分不開的，所以真正的收穫必須來自 $A$ 與 $B$ 的內容。全部展開再收集同類項。

2. 2

   逐項展開 $A^2$。 三個加項會展出三個平方與三個兩倍乘積：

   $A^2=a^2x^2+b^2y^2+a^2y^2+2abxy+2a^2xy+2aby^2$

   注意那個 $2a^2xy$——它來自 $2(ax)(ay)$，也是最常被漏掉的一項。漏了它，最後的答案就變了。

3. 3

   展開交叉乘積 $AB$ 與平方 $B^2$。

   $AB=(ax+by+ay)(bx-ay)=abx^2-a^2xy+b^2xy-aby^2+abxy-a^2y^2$

   $B^2=(bx-ay)^2=b^2x^2-2abxy+a^2y^2$

4. 4

   按 $x^2$、$xy$、$y^2$ 三組收集。 把 $xy$ 那一欄算對，就是這題的全部功夫：

   $x^2:\quad a^2+ab+b^2$

   $xy:\quad \underbrace{2ab+2a^2}_{A^2}\ \underbrace{-a^2+b^2+ab}_{AB}\ \underbrace{-2ab}_{B^2}=a^2+ab+b^2$

   $y^2:\quad \underbrace{b^2+a^2+2ab}_{A^2}\ \underbrace{-ab-a^2}_{AB}\ \underbrace{+a^2}_{B^2}=a^2+ab+b^2$

   三欄的係數完全一樣，都是 $a^2+ab+b^2$。

5. 5

   把這個共同係數提出來。 既然每一組都帶著同一個因式，

   $A^2+AB+B^2=(a^2+ab+b^2)\left(x^2+xy+y^2\right)$

6. 6

   代數字驗證後再相信它。 取 $a=2$、$b=3$、$x=4$、$y=5$。則 $A=2(4)+3(5)+2(5)=33$、$B=3(4)-2(5)=2$，所以

   $A^2+AB+B^2=1089+66+4=1159$

   而分解後的形式得 $(4+6+9)(16+20+25)=19\cdot 61=1159$。兩者相符，同時也排除了把 $xy$ 係數寫成 $-a^2+ab+b^2$ 這個常見的閃失。