解出 x、y、z 與 w：(1/3)x − (1/3)y = −1、−(1/3)x + (1/2)y = −w、(1/3)z = w，以及 x = 30 + z。

Step-by-step solution

1. 1

   先把第一式的分數去掉。 兩邊乘以 $3$：

   $x - y = -3 \ \Longrightarrow \ y = x + 3$

   四個式子、四個未知數看起來嚇人，但其中兩式（$\tfrac13 z = w$ 與 $x = 30 + z$）本來就是現成的代換，所以真正要做的工作很少。

2. 2

   把所有東西都用 z 表示。 由 $x = 30 + z$ 與 $y = x + 3$：

   $x = 30 + z, \qquad y = 33 + z, \qquad w = \frac{z}{3}$

   現在每個未知數都是單一變數 $z$ 的函數 —— 只剩第二式還沒用到，而它會把 $z$ 釘死。

3. 3

   代入剩下的那一式。

   $-\frac{1}{3}(30 + z) + \frac{1}{2}(33 + z) = -\frac{z}{3}$

   $-10 - \frac{z}{3} + \frac{33}{2} + \frac{z}{2} = -\frac{z}{3}$

4. 4

   抵消後解出 z。 $-\frac{z}{3}$ 在兩邊一模一樣，直接抵消，剩下

   $-10 + \frac{33}{2} + \frac{z}{2} = 0 \ \Longrightarrow \ \frac{z}{2} = 10 - \frac{33}{2} = -\frac{13}{2} \ \Longrightarrow \ z = -13$

   正是這個抵消，讓整個聯立一行就解得出來，不必在四個式子之間做消去。

5. 5

   回代求出另外三個未知數。

   $x = 30 + (-13) = 17, \qquad y = 33 + (-13) = 20, \qquad w = \frac{-13}{3} = -\frac{13}{3}$

6. 6

   驗證四個式子。 $\tfrac13(17) - \tfrac13(20) = -1 \ \checkmark$；$-\tfrac13(17) + \tfrac12(20) = -\tfrac{17}{3} + 10 = \tfrac{13}{3} = -w \ \checkmark$；$\tfrac13(-13) = -\tfrac{13}{3} = w \ \checkmark$；$30 + (-13) = 17 = x \ \checkmark$。四式全部恰好成立。