解方程式 4x³ + 8x³ + 4x² − 16x = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先合併同類項，其他都往後放。 前兩項都是三次項：

   $4x^3 + 8x^3 = 12x^3 \quad\Longrightarrow\quad 12x^3 + 4x^2 - 16x = 0$

   跳過這一步而想把四項拿去分組分解，是走不通的。

2. 2

   提出最大公因式。 係數 $12, 4, 16$ 有公因數 $4$，而且每一項至少含一個 $x$：

   $4x\left(3x^2 + x - 4\right) = 0$

   這樣就直接看出 $x = 0$ 是一個根，剩下的問題也降成二次式。

3. 3

   用拆中間項的方式分解二次式。 對 $3x^2 + x - 4$，我們要找乘積為 $3 \times (-4) = -12$、和為 $+1$ 的兩個數：那就是 $4$ 與 $-3$。

   $3x^2 + 4x - 3x - 4 = x(3x+4) - 1(3x+4) = (x-1)(3x+4)$

4. 4

   讓每個因式各自等於零。

   $4x = 0 \Rightarrow x = 0, \qquad x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1, \qquad 3x + 4 = 0 \Rightarrow x = -\frac{4}{3}$

5. 5

   把每個根代回原方程式檢查。 $f(0) = 0$。$f(1) = 12 + 4 - 16 = 0$。$f(-\tfrac43) = 12\left(-\tfrac{64}{27}\right) + 4\left(\tfrac{16}{9}\right) + \tfrac{64}{3} = -\tfrac{256}{9} + \tfrac{64}{9} + \tfrac{192}{9} = 0$。三個都是精確的零。