解 (x² + 4x − 12)·√(x + 5) = 0，並求它所有根的和。

Step-by-step solution

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   先把定義域定下來。 根號要求 $x+5\ge 0$，即 $x\ge -5$。正是這個限制讓本題不只是一次例行的因式分解：二次式的其中一個根會落在定義域外面。

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   把乘積拆成兩種情形。 乘積為零，要麼 $x^{2}+4x-12=0$，要麼 $\sqrt{x+5}=0$。

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   解二次因式。 判別式是 $D=4^{2}-4(1)(-12)=16+48=64$，於是 $x=\frac{-4\pm 8}{2},$ 得到 $x_1=2$ 與 $x_2=-6$。由於 $-6<-5$，$x=-6$ 落在定義域外，必須捨去；只剩下 $x=2$。

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   解根號因式。 $\sqrt{x+5}=0$ 迫使 $x+5=0$，即 $x=-5$，這恰好是定義域的左端點，因此可以取到。

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   把留下來的根相加。 解集是 $\{-5,2\}$，所以和為 $-5+2=-3$。檢驗一下：$x=2$ 時二次因式是 $4+8-12=0$，$x=-5$ 時根號是 $0$，兩者都能讓乘積為零。