解聯立不等式 −x² + 3x + 4 ≥ 0 且 3x² − 2x ≥ 0，並用區間的聯集寫出解集合。

Step-by-step solution

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   策略：各自解完再取交集。 用「且」連起來的聯立不等式，只有在兩個敘述同時成立的地方才滿足，所以答案是兩個解集合的交集。想用一行同時解掉兩個是不可能的；可靠的作法是分別做兩次符號分析，最後在同一條數線上取交集。

2. 2

   把第一個不等式的首項係數變成正的。 把 $-x^{2}+3x+4\ge 0$ 乘以 $-1$，不等號方向要反過來：

   $x^{2}-3x-4\le 0\;\Longrightarrow\;(x-4)(x+1)\le 0.$

   兩個因式的乘積在兩根之間 $\le 0$，而開口向上的拋物線在兩根之間位於軸的下方，所以

   $-1\le x\le 4.$

3. 3

   把第二個不等式提出公因式來分解。 它沒有常數項，所以直接把 $x$ 提出來，不必動用公式解：

   $3x^{2}-2x=x(3x-2)\ge 0,$

   兩根是 $x=0$ 與 $x=\tfrac23$。這條拋物線也開口向上，所以在兩根之外 $\ge 0$：

   $x\le 0\quad\text{或}\quad x\ge \tfrac23.$

   注意方向與步驟 2 恰好相反——這正是開口向上的拋物線碰到 $\le$ 與 $\ge$ 的全部差別。

4. 4

   在同一條數線上把兩個集合取交集。 第一個集合是 $[-1,4]$；第二個是 $(-\infty,0]\cup[\tfrac23,\infty)$。把第一個分別和第二個的兩塊相截：

   $[-1,4]\cap(-\infty,0]=[-1,0],\qquad [-1,4]\cap\left[\tfrac23,\infty\right)=\left[\tfrac23,4\right].$

   所以解是 $[-1,0]\cup\left[\tfrac23,4\right]$。中間的 $\left(0,\tfrac23\right)$ 被排除，因為那裡 $x(3x-2)<0$。

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   檢查四個端點以及每個區域各一點。 在 $x=0.3$（落在被排除的空隙裡）：$-0.09+0.9+4=4.81\ge0$ ✓，但 $3(0.09)-0.6=-0.33<0$ ✗，所以 $0.3$ 確實該被排除。在 $x=-0.5$：$-0.25-1.5+4=2.25\ge0$ ✓ 且 $0.75+1=1.75\ge0$ ✓。在 $x=2$：$6\ge0$ ✓ 且 $12-4=8\ge0$ ✓。在 $x=4.5$：$-20.25+13.5+4<0$ ✗。四個端點都讓其中一個因式恰好等於零，所以它們屬於這個閉集合。