解不等式 x² − 2x − 3 < 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先因式分解再做別的。 找兩個數，乘積是 $-3$、和是 $-2$。乘積是負的，所以兩數異號，而 $-3$ 與 $+1$ 剛好合用：

   $x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$

   所以不等式變成 $(x-3)(x+1)<0$。

2. 2

   找出分界點。

   $x-3=0\Rightarrow x=3,\qquad x+1=0\Rightarrow x=-1$

   它們把數線切成 $(-\infty,-1)$、$(-1,3)$ 與 $(3,\infty)$；在任何一段的內部，乘積都不可能變號。

3. 3

   每個區間各取一個值測試。 在 $x=-2$：$(-5)(-1)=5>0$。在 $x=0$：$(-3)(1)=-3<0$。在 $x=4$：$(1)(5)=5>0$。所以規律是正、負、正 — 只有中間那一段是負的。

4. 4

   用圖形的形狀確認。 首項係數是 $+1$，所以拋物線開口向上：在兩根之間下探到軸的下方，在兩根之外則留在軸的上方。這與符號測試完全一致，而且一旦知道了根，走這條路看出答案更快。

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   排除端點。 不等式是嚴格的，所以式子恰為 $0$ 的兩根不包含在內：

   $-1<x<3,\qquad(-1,3)$

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   用掃描驗證。 在 $[-10,10]$ 上取 $4001$ 個點、用精確分數計算 $x^2-2x-3$，把符號與 $(-1,3)$ 比對，每一點都吻合 ✓。再一個檢查：頂點在 $x=1$（兩根的中點），函數值是 $1-2-3=-4$，這是整個式子能達到的最負的值。