解不等式 (x + 1)(x + 3) ≥ (x − 2)(x − 4)。

Step-by-step solution

1. 1

   先展開，再判斷這是哪一類不等式。 兩邊都是乘積，看起來像是需要畫符號表的二次不等式，但不把兩邊展開就無從得知。也不要想著直接比較因式——$(x+1)\ge(x-2)$ 與 $(x+3)\ge(x-4)$ 是另一套（而且不成立的）論證。

2. 2

   用分配律把兩邊各自展開。

   $(x+1)(x+3)=x^2+4x+3$

   $(x-2)(x-4)=x^2-6x+8$

   於是不等式成為

   $x^2+4x+3\ge x^2-6x+8$

3. 3

   兩邊同減 $x^2$——這是關鍵的化簡。 兩邊的最高次項完全相同，因此互相抵消，不等式變成一次的：

   $4x+3\ge -6x+8$

   不必畫符號表、不必找臨界點、也不必管拋物線：二次的外表只是假象。

4. 4

   把 $x$ 集中並分離出來。 兩邊同加 $6x$、同減 $3$，再除以正數 $10$：

   $10x+3\ge 8\ \Longrightarrow\ 10x\ge 5\ \Longrightarrow\ x\ge\frac12$

   因為 $10>0$，$\ge$ 的方向維持不變；又因為原不等式可以取等號，端點要包含進去。

5. 5

   寫出答案並檢查邊界。 解集合是 $\left[\tfrac12,\infty\right)$。取 $x=\tfrac12$：左邊 $=\tfrac32\cdot\tfrac72=\tfrac{21}{4}$，右邊 $=\left(-\tfrac32\right)\left(-\tfrac72\right)=\tfrac{21}{4}$——兩者相等，所以 $\tfrac12$ 屬於解集合。取 $x=0$：左邊 $=3$，右邊 $=8$，而 $3\ge 8$ 不成立，可見小於 $\tfrac12$ 的值都不合。