解方程式 (x 平方加 4x 減 12) 乘 (x 加 5) 的平方根等於零，並求其根之和。

Step-by-step solution

1. 1

   定義域要先找，不能最後才找。 平方根只有在根號內非負時才有定義，所以在解任何東西之前先寫下：

   $x+5\ge 0 \quad\Longrightarrow\quad x\ge -5$

   先做這一步，才不會讓增根偷偷混進最後的總和裡。

2. 2

   利用「乘積為零」的性質。 乘積為零，恰好代表其中某個因式為零，所以要分別解 $x^2+4x-12=0$ 與 $\sqrt{x+5}=0$。初學者常忘掉第二個分支，因為「根號等於零」看起來不太像一條要解的方程式。

3. 3

   解二次式那個因式。

   $x^2+4x-12=(x+6)(x-2)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=-6 \ \text{ 或 } \ x=2$

   但 $x=-6$ 不滿足定義域 $x\ge-5$，必須捨去。只有 $x=2$ 留下來。

4. 4

   解根號那個因式。

   $\sqrt{x+5}=0 \quad\Longrightarrow\quad x+5=0 \quad\Longrightarrow\quad x=-5$

   這個值剛好落在定義域的邊界上，所以完全合法：在 $x=-5$ 時根號有定義且等於 $0$。

5. 5

   收集兩根並相加。 解集合為 $\{-5,\ 2\}$，所以

   $-5+2=-3$

6. 6

   把兩根都代回原方程式驗算。 在 $x=2$：$(4+8-12)\sqrt{7}=0\cdot\sqrt7=0$。在 $x=-5$：$(25-20-12)\sqrt{0}=(-7)(0)=0$。兩者都得 $0$；至於 $x=-6$ 根本沒辦法驗算，因為 $\sqrt{-1}$ 在實數範圍內沒有定義。