解 0.097x² − 2.3289x + 12.4464133 = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先認出係數，並預期它對誤差敏感。 這裡 $a=0.097$、$b=-2.3289$、$c=12.4464133$。最高次係數很小，所以 $2a=0.194$ 也很小，最後那次除法會把前面每一點誤差放大約五倍。因此判別式那一步才是關鍵。

2. 2

   分開、仔細地算 $b^{2}$ 與 $4ac$。

   $b^{2}=(-2.3289)^{2}=5.42377521$

   $4ac=4\times 0.097\times 12.4464133=4\times 1.2073020901=4.8292083604$

   先算 $ac$，再乘以 4；三個數一口氣乘下去，正是會掉位數的地方。

3. 3

   組出判別式。

   $D=5.42377521-4.8292083604=0.5945668496$

   它是正的但很小，所以兩根會相對接近。（把 $4ac$ 誤打成 $4.8296083604$——只錯一位數——就會得到 $D=0.5941668496$，兩根各偏掉約 $0.0013$。）

4. 4

   開平方。

   $\sqrt{D}=\sqrt{0.5945668496}=0.7710816102$

5. 5

   套用公式解。

   $x=\frac{2.3289\pm 0.7710816102}{0.194}$

   $x_{1}=\frac{3.0999816102}{0.194}=15.979287,\qquad x_{2}=\frac{1.5578183898}{0.194}=8.029992$

6. 6

   用根與係數關係檢查。 兩根之和必須是 $-\dfrac{b}{a}=\dfrac{2.3289}{0.097}=24.009278$，而 $15.979287+8.029992=24.009279$ ✓。兩根之積必須是 $\dfrac{c}{a}=\dfrac{12.4464133}{0.097}=128.31354$，而 $15.979287\times 8.029992=128.31355$ ✓。兩項互相獨立的檢查同時確認了這兩個根。